Déterminant de deux vecteurs

Définition
Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan. Soit \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green}{x}\\ \color{red}{y} \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} \color{blue}{x^{\prime}}\\ \color{orange}{y^{\prime}} \\ \end{pmatrix}\) deux vecteurs.
Le réel \(\color{green}{x}\color{orange}{y^{\prime}} - \color{blue}{x^{\prime}}\color{red}{y}\) est appelé déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) dans la base \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\).
On le note \(\text{det}\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} \right)\) ou encore \(\left\lvert \begin{array}{cc}\color{green}{x} & \color{blue}{x^{\prime}}\\\color{red}{y} & \color{orange}{y^{\prime}} \\\end{array} \right\rvert\).

Exemple
Dans une base \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère les vecteurs \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 16\\ -24\\ \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -12\\ 18\\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} 5\\ -8\\ \end{pmatrix}\).

1. Les vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont-ils colinéaires ?
On a \(\text{det}\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \right) = \left\lvert \begin{array}{cc} 16 & -12 \\ -24 & 18\\ \end{array} \right\rvert = 16 \times 18 - (-24)\times(-12) = 0.\)
Le déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) est égal à zéro. On écrit \(\text{det}\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} \right) =0\).
Donc les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires. Ils ont la même direction.

2. Les vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont-ils colinéaires ?
On a \(\text{det}\left( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{w} \right) = \left\lvert \begin{array}{cc} 16 & 5 \\ -24 & -8\\ \end{array} \right\rvert = 16 \times (-8) - (-24)\times5 = -8\).
Le déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{w}\) n'est pas égal à zéro. On écrit \(\text{det}\left( \overrightarrow{u} , \overrightarrow{w} \right) \neq 0\) .
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{w}\) ne sont pas colinéaires. Ils n'ont pas la même direction.